概率论与数理统计课件

2026-01-11 概率论与数理统计课件

概率论与数理统计课件（合集12篇）。

✪ 概率论与数理统计课件 ✪

《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》是根据教育部*新颁布的全国高校理工科及经济类“概率论与数理统计课程教学基本要求”并参考“理学、工学、经济学硕士研究生入学考试大纲”进行编写的。全书共分八章，包括了概率论与数理统计的基本内容：随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，统计量及其分布，参数估计，假设检验，方差分析与回归分析。

《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》构思新颖、叙述清楚、深入浅出、简明易懂、重点突出、富有新意，《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》第二版在保持第一版特色的基础上，更注重对学生基础知识的训练和综合能力的培养，每章均增加了综合例题讲授内容，并通过对一些具有典型性且综合性较强的例题的剖析，使解题方法、思路和技巧比第一版更加完整，且每节均精选了相当数量的例题和基本练习题(a组)与提高练习题(b组)，每章末还配有总习题。书末附有习题答案与提示，便于教师教学与学生自学。

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今年的考试分配很不正常，明年不会是这样的情况。我想明年数学一(统计)应该考一个八、九分的题是比较适中的。从今年考试中心的样题统计这一块是九分。数学三(统计)应该八分左右，统计这一块大家不要放弃，明年可能会考，分数应该是八、九分的题。至于复习，它的内容占了四分之一的样子。但是这一部分的题相对于概率题比较固定，做题的方法也比较固定，对考生来说比较好掌握，但这部分考生考得差，可能很多学校没有开这门课，或者开的话讲得比较简单，所以一些同学没有达到考试的水平。其实这部分稍微花一点时间就可以掌握了。主要就是这几块内容一是样本与抽样分布，就是三大分布搞清楚，把他们的结构搞清楚，把统计上的分布搞清楚。

然后是参数估计、矩估计、最大似然估计、区间估计、三种估计方法，三个评价标准，无偏性、有效性、一致性，重点是无偏性的考查，因为它是期望的计算，其次是有效性。一致性一般不会考，考的可能性很小。这三种估计方法重点也是前面两种，矩估计、最大似然估计，区间做了限制，考了很少，历年考试的情况也就是代代公式。

最后一部分是假设检验这部分，这一部分我个人推测明年有可能考一个概念性的小题。一是了解U检验统计量、T检验统计量、卡方检验统计量，把这三个检验统计量的分布搞清楚。另外假设检验的思想和四个步骤了解一下就可以了。我想这部分考生少花一点时间，统计这个题是没有问题的，重点就是参数估计，就是三种估计方法，三个评价标准，重点在那个地方。

2.概率的公式、概念比较多，怎么记?

答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的`。

先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。

拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。

3.我概率这块掌握的不够扎实，复习很困难，我应该怎样才能更好的复习概率这部分内容?

答：概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。

例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。

我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。

4.概率的公式非常难背，有什么好方法吗?

答：背下来是基本的要求，概率的公式并不多，但是概率的公式和高等数学的公式相比，仅仅记住它是不够的，比如给一个函数求导数，你会做，因为你知道是求导数，概率问题，比如全概率公式，考试的时候从来没有哪一年是请你用全概率公式求求某概率，所以从分析问题的层面来说概率的要求高一点，但是从计算技巧来说概率的技巧低一些，所以我建议大家结合实际的例子和模型记它。比如二向概率公式，你可以这么记它，记一个模型，把一枚硬币重复抛N次，正面冲上的概率是多少呢?这个公式哪一个符号在实际问题里面是什么东西，这样才是在理解的基础上记忆，当然就不容易忘记了。

5.关于数理统计先阶段复习应该抓哪些?

答：考试要注意，只有数学1和数学3的同学要考数理统计，按照以前考试数学1一般来说考三分之一分数的题，数学3是四分之一，但是仅仅是一个很例外的情况，2003年数学1考了16分的数理统计，但是今年没有考这部分，今年考试这个地方的命题是有一点有失偏颇，我个人的看法为了避免这样的情况，所以这个地方一定要看，一般要考8分左右的题是比较合适的，到底考什么，我可以把这个范围缩的比较小，考这么几种题型，第一个是求统计量的数字特征或者是统计量的分布，统计量大家知道就是样本的函数，样本就是X1X2-Xn，就是期望、方差、系方差，相关系数等等，求统计量的数字特征。

第二个题型，统计量既然是随机变量，当然可以求统计量的分布，2001年数学3是考了，2002年数学3考了，所以这个地方也是重要的题型。

其次第三种题型是参数估计，你要会求。要考你背两到三个区间估计的公式就可以了，所以为什么这个地方考的次数最多，每一种方法你都要会做。

第四种题型就是对估计量的好坏进行评价，估计是无偏是有效的还是抑制的。2003年就考了一个大题。

另外第五种题型就是假设间接这个地方，这么年以来只考过两次，而且从99年以来练习五年这一章是没有考，但是也正音连续五年没有考，我个人估测2004年在这个上面考一个小题的可能是非常大的，我想同学们这部分花一点点时间看一看它，可能考一个小题，考一个什么题，就是把统计量写出来，你会不会把分布写出来，以填空的方式。

另外一种考法，它的只对什么进行检验，对什么参数进行检验，你把统计参数写出来。第三种方法，设计一个问题，把架设检验的十个步骤做出来，第一个步骤是提出架设，第二步写出检验统计量。这个部分也不会出一个大题，应该是以小题的形式出现。

6.数学一概率和统计一般是怎样的分值比例?重点分别是什么?

答：我们1997年实行新大纲以后，除了1997年没有考，数学一从1998年到今年每一年都考到数理统计这块内容，也可以更多的情况下通过大题形式考，这里头大家复习时候应该稍微注意一下，数理统计它的公式特别多，但是本质上全部概括起来，三个动态总体的抽样分布，当总体方向是未知的时候，我们这几年考题表面上考数理统计的问题，有相当一部分考数理统计它在具体计算过程里头的期望和方差的计算问题。所以经常把数理统计和我们数字特征结合起来考，这种情况我认为没有必要过于区分数理统计占怎样的分值比例，本身都是紧密相连的。

7.数理统计中考试重点是什么?参数估计占多大比重?

答：参数估计这部分它占数理统计的一多半内容，参数估计这块应该是最重要的。统计里面第一章就是关于样本还有统计量分布这部分，这部分就是求统计量的数字特征，统计量是随机变量。统计里面有什么题型?一个参数估计，一个求统计量数字特征或者求统计量的分布，统计量是随机变量，任何随机变量都有分布。自然会有这样的题型。求统计量的数字特征，求统计量的分布，然后参数估计，然后估计的标准。统计这个内容对大家来说应该是比较好掌握的，题型比较少，你比较好把这个题做好。

8.数一中假设检验怎么考?参数估计中区间估计的公式是否都要记住?也就是统计量及其分布这些公式很复杂如何更好记忆，历年考试出现的好象不是特别多，今年是否会有变化?

答：区间估计不是考试重点，属于最低层次的，你只要知道两到三个区间公式就可以了，以前只考过前面两个，你多记一个留有一些余地，这个地方要求比较低，复杂的公式你不一定非得记住。

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2020年度教师个人工作总结

2020年全年，我依然继续从事着基础课程概率论与数理统计、高等数学的教学工作，课余时间进行着科学研究工作。回首走过的一年，现将工作总结如下。

一、思想工作

俗话说：“活到老，学到老”。本学年，我积极拥护以XXX为领导的新一代党中央的领导。自觉学习党报党刊上的文件精神，在思想上，行动上和党中央保持高度的一致性；支持党中央的一系列方针政策，特别是对反腐倡廉、政治体制改革、深化改革等一系列措施，表示坚决支持。学习了相关文件、政策和措施。在平时的工作中能做到顾全大局，服从领导安排，勤恳踏实，吃苦耐劳；与同事们能精诚协作，以诚相待，通过学习，我能在各方面严格要求自己，努力地提高自己的师德修养，不断反省自己，能正视自己，提高自身素质。

二、教育工作

这学年，本人担任校区本科、专科的数学课程教学工作，教授高等数学、概率论与数理统计两门课程。作为基础课部的一名数学老师，积极落实校区，系部各项教育教学措施，本着以人为本的教育理念，对学生关爱尊重，一视同仁。课堂教学中落实素质教育，强调不仅要让学生“学会”数学，更重要的是让学生“会学”数学，指导学生怎样听课、怎样做作业和怎样复习，更好地体现学生的主体地位，以及指导学生具备在未来工作中科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力。作业尽量做到精选、全批、快评。全年共完成工作量370课时。

三、科研工作

积极组织校区学生数学建模竞赛的报名工作，对多名同学进行了基本建模知识培训，认真组织学生们进行建模模拟比赛，确定参加人员名单，培养了学生应用数学解决实际问题的能力，并取得不错成绩，指导学生参加2020年全国大学生数学建模竞赛获得山东赛区三等奖。

回首2020年，我深深的感觉到我做的工作还远远不够，我要继续学习，找出差距，不断完善自己，加强专业学习，提高教学质量，提高科研水平，加强理论联系实际，适应专业发展的趋势和新时代对老师的新要求。我相信，在领导和同志们的指导下，我会逐步纠正不足，以更好的成绩来回报关心、帮助、支持我的领导、朋友、家人。

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习题1.1解答

1. 将一枚均匀的.硬币抛两次，事件A,B,C 分别表示“第一次出现正面”，“两

次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本

点。

解：Ω = { (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) }

A = { (正，正)，(正，反) };B = { (正，正)，(反，反) }

C = { (正，正)，(正，反)，(反，正) }

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数

之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事

件AB , A + B, AC,BC , A −B −C − D 中的样本点。

解：Ω = {(1,1),(1,2),⋯, (1,6),(2,1),(2,2),⋯, (2,6),⋯, (6,1),(6,2),⋯, (6,6)};

AB = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1)};

A +B = {(1,1),(1,3),(1,5),⋯, (6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)};

AC = Φ;BC = {(1,1),(2,2)};

A − B −C − D = {(1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)}

3. 以A,B,C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下

事件：

(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报;

(3)只订一种报; (4)正好订两种报;

(5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报;

(7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅;

(9)三种报纸不全订阅。

解：(1)ABC ; (2)ABC ; (3)ABC + ABC + ABC ;

(4)ABC + ABC + ABC ; (5)A + B +C ;

(6)ABC ; (7)ABC + ABC + ABC + ABC 或AB + AC +BC

(8)ABC ; (9)A + B +C

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1 ,A2 , A3分别表示甲、乙、丙射中。试说

明下列事件所表示的结果： 2

A , 2 3 A + A , A1A2 , A1 + A2 , 1 2 3 A A A ,

1 2 2 3 1 3 A A + A A + A A .

解：甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一

人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人

击中。

5. 设事件A,B,C 满足ABC ≠ Φ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

A + B +C ， AB +C ，B − AC .

解：如图：

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课型

复习课使用教师

作业设计

基础：

（1）六位同学进行投篮比赛,投进球的个数分别为2,13,3,5,10,3.则这组数据的平均数是（）,中位数是（）,众数是（）。

（2）路旁一池塘,平均水深1.50米.小明的身高是1.70米,不会游泳,他跳入池塘的结果是( )。

A.一定有危险 B.一定无危险 C.可能有可能无 D.以上答案都不对

２.综合：

1.若一组数据91,96,98,99,X.的众数是96,则平均数是______中位数是_______.

2.数据3,4,5,5,6,7的众数、中位数、平均数分别是_____、_____、_____.

3.下列三组数据：第一组:1,2,3,4,6,8第二组:2,3,5,5,7,9第三组:3,3,2,2,-1,-1.这三组数据的众数分别是多少？

拓展提升：

个体户张某经营一家餐馆，餐馆所有工作人员某个月的工资如下：张某6000元，厨师甲900元，厨师乙800元，杂工640元，服务员甲700元，服务员乙640元，会计820元。

（1）计算工作人员的平均工资。

（2）计算出的的平均工资能否反映一般工作人员这个月收入的一般水平？

（3）去掉张某的工资后，再计算平均工资，这个平均工资能代表一般工作人员这个月收入水平吗？

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第四版前言

第三版前言

第二版前言

第一章概率论的基本概念

1 随机试验

2 样本空间、随机事件

3 频率与概率

4 等可能概型(古典概型)

5 条件概率

6 独立性

小结

习题

第二章随机变量及其分布

1 随机变量

2 离散型随机变量及其分布律

3 随机变量的分布函数

4 连续型随机变量及其概率密度

5 随机变量的函数的分布

小结

习题

第三章多维随机变量及其分布

1 二维随机变量

2 边缘分布

3 条件分布

4 相互独立的随机变量

5 两个随机变量的函数的分布

小结

习题

第四章随机变量的数字特征

1 数学期望

2 方差

3 协方差及相关系数

4 矩、协方差矩阵

小结

习题

第五章大数定律及中心极限定理

1 大数定律

2 中心极限定理

小结

习题

第六章样本及抽样分布

1 随机样本

2 直方图和箱线图

3 抽样分布

小结

附录

习题

第七章参数估计

1 点估计

2 基于截尾样本的最大似然估计

3 估计量的评选标准

4 区间估计

5 正态总体均值与方差的区间估计

6 (0-1)分布参数的区间估计

7 单侧置信区间

小结

习题

第八章假设检验

1 假设检验

2 正态总体均值的假设检验

3 正态总体方差的.假设检验

4 置信区间与假设检验之间的关系

5 样本容量的选取

6 分布拟合检验

7 秩和检验

8 假设检验问题的户值检验法

小结

习题

第九章方差分析及回归分析

1 单因素试验的方差分析

2 双因素试验的方差分析

3 一元线性回归

4 多元线性回归

小结

附录

习题

第十章 bootstrap方法

1 非参数bootstrap方法

2 参数bootstrsp方法

小结

第十一章在数理统计中应用Excel软件

1 概述

2 箱线图

3 假设检验

4 方差分析

5 一元线性回归

6 bootstrap方法、宏、 VBA

本章参考文献

第十二章随机过程及其统计描述

1 随机过程的概念

2 随机过程的统计描述

3 泊松过程及维纳过程

小结

习题

第十三章马尔可夫链

1 马尔可夫过程及其概率分布

2 多步转移概率的确定

3 遍历性

小结

习题

第十四章平稳随机过程

1 平稳随机过程的概念

2 各态历经性

3 相关函数的性质

4 平稳随机过程的功率谱密度

小结

习题

选做习题

参读材料随机变量样本值的产生

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附表

附表1 几种常用的概率分布表

附表2 标准正态分布表

附表3 泊松分布表

附表4 t分布表

附表5 X2分布表

附表6 F分布表

附表7 均值的t检验的样本容量

附表8 均值差的t检验的样本容量

附表9 秩和临界值表

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一、找关键词

高数、线代和概率中有很多概念、性质和定理。其中一些很长，使考生难以把握关键点。这时考生可以试着找找关键词。一旦找到合适的关键词，长长的知识点的.核心信息就浓缩在几个关键词中。

以二次型为例，定义比较长，且字母较多。如果我们用“二次齐次多项式”作为关键词，那掌握起来就方便多了。

二、用自己的话概括

有些内容的关键词不好找，这时用自己的话概括是个不错的选择。举例如下：

高数极值和拐点的概念可以概括为：极值即局部的最值；拐点即凹凸性的分界点。

线性代数向量部分的几个定理可以概括为：整体无关推部分无关；向量组无关推延伸组无关；一个线性无关的向量组不能由个数比它少的向量组线性表出。

三、梳理知识结构

梳理知识结构有助于考生在头脑中形成知识体系，进而把书变薄。

以高数第一章为例，第一章内容为函数、极限与连续，函数包括定义、运算、性质和分类；极限包括定义、性质和计算；连续包括连续、间断点和闭区间上连续函数的性质。每一部分内容还可以展开。

四、做题而非看题

有考生习惯于看题(题目和解析)，可能是觉得自己基础薄弱，多看看，把基础打牢后再动手做题；也可能是懒，觉得做题费劲，而看题舒服些。

不能说看题没有收获，见多识广后总对思路有些启发。但相对于做题来说，看题的效果要小很多。从主动性上看，看还是一个被动接受的过程，自己的思路被写解析的人的思路牵引；而做题则是主动思考的过程。从经验上看，相信考生都有这样的经验：一道题不会做，看解析会了，合上书，自己做还是感觉磕磕绊绊。

效果差意味着没有把握到这道题的关键，没有掌握好解法，也就谈不上把书变薄了。

五、对照考纲做题

教材的内容要用考纲筛选，习题也有必要用考纲筛选，以使复习更有针对性，也顺带把任务变少，把书变薄了。

六、舍得的智慧

有考生抱着“全面复习”的理念，坚持把每个考点、每道课后习题都搞定。精神可嘉，但并不可行：有一些考点偏理论，且相对独立(如大数定律和中心极限定理)，想在基础阶段理解得很透彻有一定难度，与其花大量时间与其较劲，不如把精力用在其它重要考点上，把这部分内容往后放，甚至到强化阶段再看也不迟；有一些偏概念、偏证明的题，思考再三也搞不定，不妨先标出来，暂且搁置，把主要精力用在偏计算的题目上，之后再杀个回马枪!

面面俱到容易陷入到细节而不能自拔，舍掉细枝末节方能得到关键环节。

考研复习需要勤奋，也需要方法，希望以上招数能助考生一臂之力，也希望考生以上面的“砖”总结出更适合自己的“玉”，进而在考研之路勇猛精进!

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如何掌握做题技巧?俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。

有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢?我想历年的真题是我们最好的选择。

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平时该如何练习?提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。

我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。

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0引言

概率论与数学分析是数学的两个不同分支,数学分析是确定性数学的典型代表,概率论则是随机数学的典型代表。由于两者所研宄的方向不同，故它们的发展道路大相径庭,但是在各自的发展过程中二者却又紧密地结合在一起,数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也逐渐滲透到数学分析当中，推动着数学分析的发展。研宄概率论与数学分析两者之间的相互关系，并寻绎概率论在解决数学分析中某些比较困难的问题的方法、思想，是很有意义的。

1.数学分析对概率论的渗透与推动

1933年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据，导入了概率论的公理化体系，概率论得以迅猛发展,在其迅猛发展的道路上，数学分析的思想与方法随处可见。

1.1集合论与概率论的公理化体系

由于数学的研究对象一般都是具有某种性质或结构。世纪数学分析的严密化过程当中培育出来的，两者之间是源和流的关系；又由于勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系；因而集合论对概率论的滲透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动。

数学分析中主要有黎曼积分和勒贝格积分两种。黎曼积分处理性质良好的函数时得心应手,但对于级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常比较困难。勒贝格积分的出现,使黎曼积分遇到的难题迎刃而解,微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。有了勒贝格积分理论以后,集合测度与事件概率之间的相似性便显示出来了。不仅如此,测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛,实质上就是弱大数定律与强大数定律中的收敛。1933年,苏俄数学家柯尔莫哥洛夫，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系2,统一了原先概率的古典定义、几何定义及频率定义纷争不一的局面。他建立的公理化体系，具备了独立性、无矛盾性、完备性的公理化特征,确定了事件与集合、概率与测度的关系，使集合论加盟概率论。概率论在坚实的公理化基础上，已成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。

1.2傅立叶变换与特征函数傅立叶级数是数学分析中十分有效的工具。事实上，不仅是傅立叶级数,还有傅立叶积分、傅立叶变换等等也都是数学分析中的重要工具。它们除了在数学分析领域内发挥着重要的作用之外，也已滲透到了概率论领域当中。其中，把傅立叶变换应用于分布函数或密度函数，就产生了所谓的“特征函数”于是，对于处理独立随机变量和与随机变量序列的问题,就显得十分方便了。

在数学分析中有如下定理：

正是由于概率论运用了傅立叶变换的这些相关知识，构造和引进了特征函数,使多维随机变量分布、极限分布研宄更便捷,从而把概率论的理论研宄推进一个崭新的阶段。

1.3雅可比行列式与随机变量函数的分布在数学分析当中，我们所接触的函数大多是显函数，但除了显函数外，也常会遇到另一种形式的函数一隐函数,尤其是隐函数组。为了确定所给方程组的隐函数组是否存在,德国数学家雅可比在偏微分方程的研宄中，引进了“雅可比行列式”对此问题给予了解决。同样，在概率论中，应用雅可比行列式J,可以一下子解决多维随机变量（X,)的函数zU,)的概率分布问题。

1.4同阶数量级与极限定理大数定律与中心极限定理是概率论研宄的中心问题，

也是数理统计中的理论基础。由于两者讨论的都是随机变量序列的极限问题,这与数学分析中的'数列极限、函数列极限极为相似且联系十分密切，因此,对于数学分析中的同阶数量级方法在解决概率论的大数定律与中心极限定理的有关问题中同样是适用的。

1.5函数与随机变量、分布函数

函数是数学分析中最基本的概念之一，当它被引入概率论领域以后,概率论中的许多问题便得到了简化，从而使概率论进入了一个崭新的阶段。

随机变量与分布函数是概率论中最为重要的两个概念,并且都是函数,其中，随机变量X为集函数，分布函数为实函数。在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间转化为数集,概率相应地由集函数约化为实函数。以函数的观点衡量分布函数,分布函数的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导。此外，随机变量X的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量X的概率计算等等，同样运用了微积分的现成成果。

随机变量与分布函数的导入,从理论上结束了概率的古典时代。概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论,更重要、更基本的,仍然是数学分析那一套理论。概率论形成体系后的快速发展,不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归。

尽管随机变量X的导入方式有一定的自由度，不具备唯一性;尽管随机变量X的取值需服从一定的概率分布;尽管分布函数可以视为集函数，可以描述任何种类的随机变量X的随机性质，但是在函数的范畴内，它们的本质是一致的，既然都是函数家族的成员，就具备了确定性和因果律。

综上可见,数学分析的思想方法，已经滲透到了概率论的各个方面。没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化,概率论就难以形成一门独立的学科。

2概率方法在数学分析中的应用

从上可知,在数学分析的渗透与推动作用下，概率论得到了飞快地发展。与此同时，由于概率论本身所具有的特征,使得数学分析中某些比较困难的问题得以高效简捷性地解决。

2.1数学期望与不等式不等式是数学分析中的重要内容,在数学分析中不等式问题经常碰到,例如级数不等式、积分不等式等等。数学分析中可以使用多种方法进行证明这些不等式，可是证明起来却相当不容易。然而倘若巧妙地运用概率论中数学期望性质，数学分析中的不等式问题便可以很轻易地得到证明。

概率论中数学期望的性质：

2.2中心极限定理在数学分析中的特殊作用

概率论的中心极限定理为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,林德贝格-勒维中心极限定理，林德贝格中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理[3]。这4个中心极限定理的建立不仅为概率论的发展开辟了广阔的前景，同时使概率论与数学分析保持着密切地联系。

极限是数学分析的基础,微积分中一系列重要的概念和方法,都与极限关系密切，数学分析中有一些复杂的极限问题,用通常的数学分析方法是难以计算的，但应用概率论中的中心极限定理则可较简便地得以解决。

由此可见,概率论不仅能解决随机的数学问题，同样也可以解决一些确定的数学问题,是一门同时包含着确定性和非确定性二重品格的特殊的数学学科。

✪ 概率论与数理统计课件 ✪

这部分书上只要求一半，第七章的基本概念和第八章的参数估计，第九章的检验假设（和参数估计同等级的，也是一种推测的方法）和第十章两种分析（貌似是讲怎样处理数据的，我也没仔细看，所以就不和前几章一样装做很懂的样子，我发现我好会装啊，其实我前几章也不懂，哈哈）不要求

相比于概率论，数理统计要求的内容比较少，只要掌握基本概念和参数估计就好了。先举个例子。

譬如我想知道在周一到周五哪天晚上去图书馆才能尽可能遇见你，所以首先呢，我在本学期前五周先安排了我的一个兄弟蹲守侧门，我呢蹲守正门，开始记录你来图书馆是星期几晚上（也就是抽样），然后呢我就开始分析这些数据，最后我可以推测在接下来的十几周，我应该在周四晚上去图书馆才能尽可能遇见你。诶，这就是数理统计要干的事。

下面是正文：

第七章基本概念

这章有3个内容。第一个就是总体样本观测值的定义，第二是统计量，第三是分位数。

【1】其实高中也学过，不过大学只是把它定量化了。其实这章有些人看不懂，主要是看大写X，Xi和小写xi看晕了。所以我们要明确总体X，样本X1，X2，Xn，而观测值是x1,x2,xn。从总体中抽出样本的过程就是抽样，也就是上文的蹲点。而观测值呢就是我蹲点后的记录。（这里要明确的是，样本也是个随机变量，因为我蹲点了，你来不来肯定不知道啊，只有等我观测了一晚上记录说“今晚你没来”，这样我才知道，而这就是观测值）

PS：大写的X和中文的“量”（譬如估计量）都是指随机变量是不确定的。小写的x和“值”（譬如估计值）都是数值，是个数。

【2】明确了定义，我们就来看下怎样去高校地表示和利用这些数据，也就是统计量。常见的统计量有样本均值，样本方差，样本K阶矩和最大最小次序统计量。（要注意的是，和概率论不同的是，这里是样本的统计量）

这些比较简单，难得是统计量的分布。（三大分布x2分布，t分布，F分布）主要掌握他们的定义，概率密度的图像，性质（书上很多东西都不要求的，只要记住定义图像和性质就行，譬如开方分布的期望是自由度之类的）。尤其是图形要记住，之后的区间估计会用到。这章中的考题也无非就是统计量的分布和统计量的数值特征。

由于现实中最常见的分布是正态分布，所以之后书本上讨论了正态总体的抽样分布，这里很枯燥，一大推不认娘的公式，有人肯定看不大懂，没关系，学到区间估计就懂了（由于内容重复，我在下文区间估计时一起讲）。

【3】分位数，这个比较直观实用，附录很多表就是这个。我们的教课书上采用的左侧分位数，就是阴影在左边的。具体的定义比较简单，记住横坐标和阴影的对应关系就好了。总结下这章的重点，1）三大分布的定义和性质2）正态总体三个抽样分布（下文区间估计一起讲）3）三个图像在区间估计时的运用，譬如求下文1-α的置信区间等。然后这章就没了。

第八章参数估计

参数估计就是上文我分析推测你最可能哪天晚上去图书馆自习的方法之一，还一个方法就是假设检验。整章就两个内容，点估计和区间估计。